이산신호 컨볼루션 예제
컨볼루션의 다차원 공식화는 정의 도메인(아래)을 참조하십시오. 따라서 일부 변환 고정 연산은 컨볼루션으로 나타낼 수 있습니다. 회선은 시간 불변 시스템, 특히 LTI 시스템 이론의 연구에서 중요한 역할을합니다. 대표 함수 gS는 변환S. 리콜의 임펄스 응답 이득 aa와 피드백 시스템에 대 한 임 펄스 응답은 로컬 소형 abelian 그룹에, 컨볼루션 정리의 버전 보유: The Fourier 컨볼루션의 변환은 푸리에 변환의 포인트 와이즈 제품입니다. Lebesgue 측정을 가진 원 단 T는 즉각적인 보기입니다. L1(T)의 고정 g의 경우, 힐베르트 공간 L2(T)에 작용하는 친숙한 연산자가 있습니다: 컴팩트 그룹에 대해 유사한 결과가 유지됩니다(반드시 아벨리안은 아님): 유한 차원 단위 표현의 행렬 계수가 직교 수직 기초를 형성합니다. 피터 – 웨일 정리에 의해 L2에서, 그리고 컨볼루션 정리의 아날로그는 푸리에 변환에 의존 고조파 분석의 많은 다른 측면과 함께, 개최 계속합니다. 순환 컨볼루션은 빠른 푸리에 변환(FFT) 알고리즘을 통해 빠른 컨볼루션의 컨텍스트에서 가장 자주 발생합니다. 따라서 컨볼루션이 Lp×Lq에서 Lr까지 연속적인 양방향 매핑이 되도록 합니다. 컨볼루션에 대한 영 불평등은 다른 컨텍스트(원 그룹, Z의 컨볼루션)에서도 마찬가지입니다. 앞의 부등식은 실제 줄에서 선명하지 않습니다: 1 < p, q, r < ∞ 1이 있을 때, 일정한 Bp,q < 1이 존재할 때: 측정값의 컨볼루션은 영의 불평등의 다음 버전을 조정하여 integrab의 선형 공간에 있는 제품을 정의합니다.
le 기능. 이 제품은 다음과 같은 대수 속성을 만족하며, 이는 공식적으로 컨볼루션에 의해 주어진 제품과 통합 함수의 공간이 ID가없는 통근 연관 대수라는 것을 의미합니다 (Strichartz 1994, §3.3). 컴팩트 지원의 연속 함수 공간과 같은 다른 선형 함수 공간은 컨볼루션 아래에 닫혀 있으므로 가환 연관 대수도 형성됩니다. 순환 컨볼루션에 대한 표기(f-N g)는 정수 modulo N의 순환 그룹에 대한 컨볼루션을 나타냅니다. 유클리드 공간 및 기타 그룹의 함수에 대해 컨볼루션을 정의할 수 있습니다. [인용 필요] 예를 들어, 이산 시간 푸리에 변환과 같은 주기적 함수는 원에서 정의되고 주기적 컨볼루션으로 컨볼루션될 수 있습니다. (DTFT § 속성에서 행 18을 참조하십시오.) 정수 집합의 함수에 대해 개별 컨볼루션을 정의할 수 있습니다. 컨볼루션은 선형 시간 불변(LTI)으로 알려진 중요한 작업 클래스의 출력(입력 측면에서)을 설명합니다. LTI 제약 조건의 결과로 컨볼루션의 파생에 대한 LTI 시스템 이론을 참조하십시오. LTI 작업의 입력 및 출력의 푸리에 변환측면에서 는 새 주파수 구성요소가 생성되지 않습니다. 기존 것들은 단지 수정됩니다 (진폭 및 / 또는 위상).
즉, 출력 변환은 세 번째 변환(전송 함수라고 함)을 가진 입력 변환의 포인트와이즈 제품입니다. 컨볼루션 속성의 파생은 컨볼루션 정리를 참조하십시오. 반대로 컨볼루션은 두 개의 푸리에 변환의 점방향 생성물의 역 푸리에 변환으로 파생될 수 있습니다. 그래픽 프로세스측면에서 컨볼루션의 계산을 시각화할 수 있는 것이 유용한 경우가 많습니다. 두 함수f의 컨볼루션을 고려, gf,g if μ 및 θ가 위상 그룹(R,+)에 대한 확률 측정인 경우, 그 다음 컨볼루션 μ θ는 각각 두 개의 독립적인 랜덤 변수 X와 Y의 합계 X + Y의 확률 분포입니다. 분포는 μ 및 θ입니다. 보다 일반적으로, 연관법칙f와 g의 컨볼루션이 별표를 사용하여 f.g로 쓰여지도록 독특한 방식으로 컨볼루션의 정의를 확장할 수 있다.
